若不等式x²-2mx+2m+1>0,对满足0≤x≤1的所有实数x都成立,求m的取值范围

题目

若不等式x²-2mx+2m+1>0,对满足0≤x≤1的所有实数x都成立,求m的取值范围

答案

JK男人,
解析：设f（x）＝x^2－2mx＋2m＋1．
“不等式x^2－2mx＋2m＋1＞0对满足0≤x≤1的所有实数x都成立”等价于：
“函数f（x）在0≤x≤1上的最小值大于0”.
而f（x）的对称轴为x＝m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题.
（1）当m＜0时,f（x）在〔0,1〕上是增函数,因此f（0）是最小值,则有：
m＜0且f（0）＝2m＋1＞0,解之得：－1/2＜m＜0
（2）当0≤m≤1时,f（x）在x＝m时取得最小值,则有：
0≤m≤1且f（m）＝－m^2＋2m＋1＞0,解之得：0≤m≤1
（3）当m＞1时,f（x）在〔0,1〕上是减函数,因此f（1）是最小值,则有：
m＞1且f（1）＝2＞0,解之得：m＞1
综合（1）（2）（3）得m＞－1/2