已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的最大值为8,函数g(x)=f(x)+1,且g(x)有两个零点,分别为2和-1,试确定二次函数f（x）的解析式

题目

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的最大值为8,函数g(x)=f(x)+1,且g(x)有两个零点,分别为2和-1,试确定二次函数f（x）的解析式

答案

g(x)=f(x)+1
所以,g(x)的图像是f(x)的图像向上平移一个单位得到的
向上平移的过程中对称轴是不变的
g(x)的零点是2和-1,则其对称轴是2和-1的中点,x=1/2
所以,f(x)的对称轴也是x=1/2
又因为f(x)的最大值为8
则：f(x)的顶点是(1/2,8)
可把f(x)写成顶点式：f(x)=a(x-1/2)²+8
则g(x)=a(x-1/2)²+9
g(2)=0,即：9a/4+9=0
得：a=-4
所以,f(x)=-4(x-1/2)²+8
即：f(x)=-4x²+4x+7