若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用柯西不等式证明:a+b+c≥根号3

题目

若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用柯西不等式证明:a+b+c≥根号3

答案

a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,a²+c²≥2ac
a²+b²+b²+c²+a²+c²≥2ab+2bc+2ac
a²+b²+c²≥ab+bc+ac
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥3(ab+bc+ac)=3
a+b+c≥√3