已知集合A={x|ax2+2x+1=0}． （1）若A中只有一个元素，求a的值； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

题目

已知集合A={x|ax²+2x+1=0}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

答案

（1）当a=0时，A={x|2x+1=0}={−

1

2

}，符合条件；
当a≠0时，方程ax²+2x+1=0为一元二次方程，要使A中只有一个元素，
则方程ax²+2x+1=0只有一个实数解，所以△=4-4a=0⇒a=1．
所以，a的值为0或1．
（2）若A中至多只有一个元素，则A中只有一个元素，或A=∅．
由（1）知：若A中只有一个元素，a的值为0或1；
若A=∅，则方程ax²+2x+1=0无实数解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．
所以，a≥1或a=0．