若方程x2+x+a=0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围．

题目

若方程x²+x+a=0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围．

答案

依题知，方程x²+x+a=0有实数根，则有：△=1²-4×1×a=1-4a≥0
∴a≤

1

4

．
设方程x²+x+a=0的两个实数根为x₁和x₂，根据韦达定理有：
x₁+x₂=-1 …（1）
x₁x₂=a …（2）
能使（1）成立的两个实数根，必须满足以下两种情况：
①一个实数根为0，另一个实数根为-1（如x₁=0，x₂=-1），此时由（2）式知：a=x₁x₂=0
②一个实数根为负实数，另一个实数根为正实数．
设x₁=k（k＞0），则x₂=-（k+1），x₁x₂=-（k²+k）＜0，
此时由（2）式知：a=x₁x₂＜0
综合以上所有结论知，实数a的取值范围为：a≤0．