已知函数f（x）=ln（1/2+ax/2）+x-ax （a为常数,a＞0）

题目

已知函数f（x）=ln（1/2+ax/2）+x-ax （a为常数,a＞0）
——————求完整过程—————— （1）若x=1/2是函数f（x）的一个极值点,求a的值.a=2 （2）求证：当0＜a≤2时,f(x）在[1/2,+∞）上是增函数.（3）若对任意的a∈（1,2）,总存在x0∈[1,2],使不等式f（x0）＞m（1-a）成立,求实数m的取值范围.m≥1/4）.

答案

(1):因为f（x）=ln（1/2+ax/2）+x-ax 所以f‘（x）=a/（ax+1）+2x-a f’（1/2）=0 解之得 a=2 （2）当0＜a≤2时,f(x）在[1/2,+∞）时 因为f‘（x）=a/（ax+1）+2x-a=(2ax^2+2x+a-a^2x-a)/ax+1=x(2ax+2-a^2)/ax+1 又因为x>1/2>0 ax+1>0 :2ax+2-a^2在[1/2,+∞）单增,x=1/2时a+2-a^2在0＜a≤2上恒大于0 所以f‘（x）在当0＜a≤2时,f(x）在[1/2,+∞）时大于0,即是增函数 （3）f（x）在[1/2,+∞）上是增函数,所以x0∈[1,2],使f（x0）＞m（1-a）只需使f（1/2）＞m（1-a） （ ln（1/2+x/4）+1/4-1/2a）>m（1-a） 令f（a）= （ ln（1/2+x/4）+1/4-1/2a）/（1-a） f（a）在（1,2）上为减函数,所以 f（a） > f（2）=1/4 要是m