椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,e=根号3/2 过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于PQ两点

题目

椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,e=根号3/2 过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于PQ两点
PQ=20/9,且OP垂直于OQ,求此椭圆的方程.
急

答案

设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
由e=√3/2,得a=2b,c=√3b,则椭圆方程化为
x²/4b²+y²/b²=1
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
不妨设PQ过椭圆右焦点,则PQ方程为：y-0=k(x-c)
即y=k(x-√3b)
代入椭圆方程,整理得
(4k²+1)x²-8√3bk²x+4b²(3k²-1)=0
x1+x2=8√3bk²/(4k²+1),x1x2=4b²(3k²-1)/(4k²+1)
由OP⊥OQ,得
(y1/x1)(y2/x2)=-1,即x1x2+y1y2=0
亦即x1x2+[k(x1-√3b)][k(x2-√3b)]=0,整理得
(1+k²)x1x2-√3bk²(x1+x2)+3b²k²=0
解得k²=4/11,则
x1+x2=32√3b/27,x1x2=4b²/27
|PQ|=√(1+k²)|x2-x1|
=(√15/11)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=(√15/11)√[(32√3b/27)²-4(4b²/27)]
=20b/9=20/9
解得b=1,则a=2
故所求椭圆方程为x²/4+y²=1