关于x的方程ax3-x2+x+1=0在(0,+∞)上有且仅有一个实数解,则a的取值范围为_.
题目
关于x的方程ax3-x2+x+1=0在(0,+∞)上有且仅有一个实数解,则a的取值范围为______.
答案
关于实数x的方程ax
3-x
2+x+1=0的所有解中,仅有一个正数解⇔a=
-
-
有仅有一个正实数解.
令
=t(t≠0),t的符号与x的符号一致,则a=-t
3-t
2+t有且
仅有一个正实数解,
令f(t)=-t
3-t
2+t(t≠0),
f′(t)=-3t
2-2t+1,由f′(t)=0得t=
或t=-1.
又t∈(-1,
)时,f′(t)>0;t∈(-∞,-1),(
,+∞)时,f′(t)<0.所以[f(t)]
极大值=f(
)=
.
又t→-∞,f(t)→+∞;t→+∞,f(t)→-∞.
结合三次函数图象,如图.
综上所述,实数a的取值范围为a≤0或a=
.
故答案为:a≤0或a=
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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