二重积分 计算

题目

二重积分 计算
已知∫f(x)dx =6
x的积分上限是1,下限0
求∫dx∫f(x)f(y) dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是1,下限是x

答案

∫dx∫f(x)f(y) dy =∫f(x)dx∫f(y) dy
=∫[f(x)∫f(y) dy]dx
=∫[∫f(y) dy]d[∫f(y) dy] 凑微分,（从左到右）第二个积分上限是1,下限是x；第三个积分上限是x,下限是1.
=-∫[∫f(y) dy]d[∫f(y) dy] 改变第三个积分的上下限,上限是1,下限是x.
=-1/2 [∫f(y) dy]^2|（1,0） ；|（1,0）代表x代1与x代0相减,
=-1/2 [∫f(y) dy]^2+1/2 [∫f(y) dy]^2 ；,（从左到右）第一个积分上限是1,下限是1；第二个积分上限是1,下限是0.
=-1/2 [∫f(x) dx]^2+1/2 [∫f(x) dx]^2
已知∫f(x)dx =6
所以 原式=(-1/2)*0+(1/2)*6=3