设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,

题目

设x1与x2分别是实系数方程ax+bx+c=0和-ax+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0,
求证：（a/2)x^2+bx+c=0仅仅有一根介于x1和x2之间

答案

证明：分别把x1,x2带入方程得：ax1+bx1+c=0,-ax2+bx2+c=0即bx1+c=-ax1 ,bx2+c=ax2所以f(x1)f(x2)=（(a/2)x1+bx1+c）·（(a/2)x2+bx2+c）=（(a/2)x1- a x1）·（(a/2)x1+ax2）=（-3a/4）·（x1 x2）因为a≠0,x1,x2≠0即（-3a/4）（x1 x2）＜0即f(x1)f(x2) ＜0函数f(x)在两点x1,x2有：f(x1)f(x2)＜0所以得出：f(x1) ＜0且f(x2)＞0 或f(x1) ＞0且f(x2) ＜0可以得出函数f(x)在x1和x2之间,至少有一点交于X轴.即可得出Δ=b-2ac≥0所以方程(a/2)x+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间