使函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)是奇函数,且在[0,π4]上是减函数的θ的一个值是( ) A.π3 B.2π3 C.4π3 D.5π3
题目
使函数
f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)是奇函数,且在
[0,]上是减函数的θ的一个值是( )
A.
B.
C.
D.
答案
∵函数
f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+
) 是奇函数,故θ+
=kπ,k∈z,θ=kπ-
.
当k为奇数时,令k=2n-1,f(x)=-2sin2x,满足在
[0,]上是减函数,此时,θ=2nπ-
,n∈z,
选项B满足条件.
当k为偶数时,令k=2n,f(x)=2sin2x,不满足在
[0,]上是减函数.
综上,只有选项B满足条件.
故选 B.
利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin(2x+θ+
),由于它是奇函数,故θ+
=kπ,k∈z,当k为奇数时,
f(x)=-2sin2x,满足在
[0,]上是减函数,此时,θ=2nπ-
,n∈z,当k为偶数时,经检验不满足条件.
正弦函数的奇偶性;正弦函数的单调性.
本题考查两角和正弦公式,正弦函数的单调性,奇偶性,体现了分类讨论的数学思想,化简函数的解析式是解题的突破口.
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