已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC

题目

已知Rt△ABC中,AC=3,BC= 4,过直角顶点C作CA1⊥AB,垂足为A1,再过A1作A1C1⊥BC
在RtΔABC中,AB=3,BC=4, ∠ABC=90度,过B作BA1⊥AC,过A1作A1B1⊥BC,得阴影RtΔA1B1B；再过B1作B1A2⊥AC,过A2作A2B2⊥BC,得阴影RtΔA2B2B1；……如此下去,请猜测这样得到的所有阴影三角形面积之和

答案

A1B1B是ABC面积的(12/25)^2
A2B2B1是A1B1C面积的(12/25)^2
.
AnBnBn-1是An-1Bn-1C面积的(12/25)^2
A1B1C是ABC面积的(16/25)^2
A2B2C是A1B1C面积的(16/25)^2
.
AnBnC是An-1Bn-1C面积的(16/25)^2
阴影三角形的面积成正比 公比为(16/25)^2 首项为3*4/2*(12/25)^2
和为[3*4/2*(12/25)^2]*{1-[(16/25)^2]^n}/[1-(16/25)^2]
=[3*4/2*(12/25)^2]/[1-(16/25)^2]=96/41