有关集合的

题目

有关集合的
对任意集合X,用n(X)表示X的子集个数,用|X|表示集合X的元素个数.已知集合A,B,C满足n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C),且|A|=|B|=100.求|A∩B∩C|的最小值.

答案

首先,你得知道集合的这个关系式：
n(X) = 2^|X|；
那么,A、B、C的关系就可作如下转化：
n(A) + n(B) + n(C) = n(A∪B∪C)；
2^|A| + 2^|B| + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；
将条件 |A| = |B| = 100 代入上式,得：
2^100 + 2^100 + 2^|C| = 2^101 + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；
现在,就得用到幂运算的性质了：
上式中,集合的元素个数肯定是整数；
而【2 个底数为 2 的整数次幂相加,结果是另一个底数为 2 的整数次幂】；
这样的等式,只有一种可能：
【两个加数的次幂相等】；
即：|C| = 101；此时,有：
2^101 + 2^101 = 2^102 = 2^|A∪B∪C|；
所以：|A∪B∪C| = 102；
下面,就是集合的并、交问题了：
首先,A、B、C 至少两两相交,否则 A∪B∪C 的元素肯定超过 102 个；不妨先考虑 A、B 两个集合：已知 A、B 各含 100 个元素,那么我们就可以求出它们的“交集”与“并集”的元素个数的关系了：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 200 - |A∩B|；
还有它们的取值范围：
0 ≤ |A∩B| ≤ 100；
100 ≤ |A∪B| ≤ 200；
本题中：
|A∪B| ≤ 102；
所以：
|A∩B| 的范围就被限定为：100,99,98 这 3 个值；
再把 C 加进来就行了；对 C 的要求就是：
|A∪B∪C| = 102；————————————————①
可分别讨论：
（1）|A∩B| = 100；此时 |A∪B| = 100；根据①可知：
C 必然恰好有 2 个元素不在 A∪B 中,有 99 个在 A∪B 中；
而此时 A∪B = A∩B,即：A∪B 中的【100】个元素全都在 A∩B 中,那么：C 中的那【99】个元素,必然全都在 A∩B 中；所以：
|A∩B∩C| = 99；
（2）|A∩B| = 99；此时 |A∪B| = 101；根据①可知：
C 必然恰好有 1 个元素不在 A∪B 中,有 100 个元素在 A∪B 中；
在 A∪B 中,有【99】个在 A∩B 中,有【2】个不在其中；那么：C 的这【100】个元素,在分配到 A∪B 中时,根据有多少个分到 A∩B 中就有多种可能：
99 + 1：|A∩B∩C| = 99；
98 + 2：|A∩B∩C| = 98；
（3）|A∩B| = 98；此时 |A∪B| = 102；根据①可知：
C 的 101 元素必然全部都在 A∪B 中；
而在 A∪B 中,有【98】个在 A∩B 中,有【4】个不在其中；同（2）：C 的这【101】个元素,也有多种可能：
98 + 3：|A∩B∩C| = 98；
97 + 4：|A∩B∩C| = 97；
综合（1）、（2）、（3）可得 |A∩B∩C| 的最小值为：97.