已知关于x的方程lg(x+k)=2lg(x+1),(k为常数)

题目

已知关于x的方程lg(x+k)=2lg(x+1),(k为常数)
1.当k=2时,解关于x的方程
2.讨论方程解的个数并确定相应k的取值范围

答案

1.k=2时lg(x+2)=2lg(x+1)等价于
x+2=(x+1)^2且x+1>0
即x^2+x-1=0且x>-1,
所以x=(-1+√5)/2.
2.方程lg(x+k)=2lg(x+1)等价于
x+k=(x+1)^2且x+1>0
即k=x^2+x+1且x>-1,
作y=x^2+x+1(x>-1)的图象及直线y=k可知
k=3/4或k≥1时y=x^2+x+1(x>-1)的图象及直线y=k
有1个交点,原方程有1解,
3/4-1)的图象及直线y=k
有2个交点,原方程有2解,
k≤3/4时y=x^2+x+1(x>-1)的图象及直线y=k
无交点,原方程无解.