椭圆x/4+y/3=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是
题目
椭圆x/4+y/3=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是
答案
设椭圆的右焦点为E.如图:由椭圆的定义得:△FAB的周长:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE; ∵AE+BE≥AB; ∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号; ∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a; 即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大; 此时△FAB的高为:EF=2. 此时直线x=m=c=1; 把x=1代入椭圆x^2/ 4 +y^2/ 3 =1的方程得:y=±3 2 . ∴AB=3. 所以:△FAB的面积等于:S△FAB=(1/ 2 )×3×EF=(1/ 2) ×3×2=3.
举一反三
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