已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2＞2

题目

已知函数f(x)=xe^-x(x属于R) 如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2＞2

答案

证明：
f'(x)=(1-x)e^(-x),当f'(x)=0时,有x=1.当x＞1时,f'(x)＜0；当x＜1时,f'(x)＞0.所以,在x=1时f(x)取得极大值和最大值.
又当x趋近于+∞时,f(x)正向趋近于0,且f(0)=0,所以,如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2),不失一般性令x1＜x2,则0＜x1＜1,x2＞1.
对于任意的x∈(0,1),分别取两点1-x、1+x.现在比较f(1-x)和f(1+x)的大小.
f(1+x)-f(1-x)=[1+x-(1-x)e^(2x)]/e^(1+x)
令分子部分为g(x)=1+x-(1-x)e^(2x),x∈(0,1).求导有g'(x)=1+(2x-1)e^(2x),x∈(0,1).
当x=0时,g'(x)=0；当x＞0时,1+(2x-1)e^(2x)单调递增且大于0.所以,在(0,1)上g(x)是单调增函数,且g(x)＞g(0)=0,有f(1+x)-f(1-x)＞0,即f(1+x)＞f(1-x)!
因为0＜1-x＜1、1+x＞1、f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(1+x)＞f(1-x),所以在1+x点的右侧必能找到一点x2,使得f(1-x)=f(x2),x2＞1+x.
故(1-x)+x2＞(1-x)+(1+x)=2
令1-x=x1,则为x1+x2＞2 得证