求函数f(x)=(sinx)^4*tanx+(cosx)^4*cotx的值域
题目
求函数f(x)=(sinx)^4*tanx+(cosx)^4*cotx的值域
答案
f(x)=(sinx)^4*tanx+(cosx)^4*cotx
=(sinx)^5/cosx+(cosx)^5/sinx
=〔(sinx)^6+(cosx)^6]/(sinxcosx)
=[(sin^2 x+cos^2 x)(sin^4 x-sin^2 xcos^2 x+cos^4 x)]/(sinxcosx)
=(1-3sin^2 xcos^2 x)/(sinxcosx)
=1/(sinxcosx)-3sinxcosx
=2/sin2x-3sin2x/2
1、在sin2x∈(0,1〕时,当sin2x=1在此区间有最小值f(x)=1/2
所以 此区间的值域为〔1/2,+∞)
2、在sin2x∈〔-1,0)时,当sin2x=-1,在此间有最大值f(x)=-1/2
所以此区间的值域为(-∞,-1/2〕
所以此函数的值域为(-∞,-1/2〕∪〔1/2,+∞)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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