已知有相同两焦点F1,F2的椭圆 X^2/m一y^2=1 （m>1) 和双曲线X^2/n-y^2=1(n>0),P是他们的一个焦点,则.

题目

已知有相同两焦点F1,F2的椭圆 X^2/m一y^2=1 （m>1) 和双曲线X^2/n-y^2=1(n>0),P是他们的一个焦点,则.
已知有相同两焦点F1,F2的椭圆 X^2/m一y^2=1 （m>1) 和双曲线X^2/n-y^2=1(n>0),P是他们的一个焦点,则三角形PF1F2的形状是.

答案

椭圆应是 X^2/m+y^2=1,a1=√m,b1=1,c=√(m-1),其中a1、b1是椭圆的长短半轴,
根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a1=2√m,(1)
双曲线实半轴a2=√n、虚半轴为b2=1,c=√(n+1)
根据双曲线定义,||PF1|-|PF2||=2a2=2√n,
这里设|PF1|>|PF2|,|PF1|-|PF2|=2√n,(2)
(1)和（2）式联立,
|PF1|=（√m+√n),
|PF2|=(√m-√n),
PF1^2+PF2^2=m+n-2√mn+m+n+2√mn
=2(m+n),
F1F2^2=(2c)^2=4(m-1)=4(n+1),
2F1F2^2=4m-4+4n-4=4m+4n,
F1F2^2=2(m+n)=PF1^2+PF2^2,
∴根据勾股逆定理,
三角形PF1F2是直角三角形.