“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的

题目

“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处，AB=10km，BC=5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．

（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（2）试利用（1）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．

答案

（1）：延长PO，交AB于Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则 OA＝AQcosθ＝5cosθ，故 OB＝5cosθ，又OP=5-5tanθ，所以 y=OA+OB+OP=y＝10−5sinθcosθ+5(0≤θ≤π4)；（2）y′＝−5cosθ•cosθ−(10...