数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列,求证:3A-B+C=0.
题目
数列{an}的前n项和为Sn,存在常数A,B,C,使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立.若数列{an}为等差数列,求证:3A-B+C=0.
答案
因为{a
n}为等差数列,设公差为d,由a
n+S
n=An
2+Bn+C,
得a
1+(n-1)d+na
1+
n(n-1)d=a
n+S
n=An
2+Bn+C,…(2分)
即(
d-A)n
2+(a
1+
-B)n+(a
1-d-C)=0对任意正整数n都成立.…(4分)
所以
,∴A=
d,B=a
1+
d,C=a
1-d,
所以3A-B+C=0. …(10分)
已知数列{an}为等差数列设公差为d,根据数列通项公式,可前n项和公式代入an+Sn=An2+Bn+C,可以求出A、B、C,再进行证明;
等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
此题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式,是一道基础题,解题过程中用到了待定系数法;
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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