过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

题目

过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

答案

抛物线的焦点F坐标为（a，0），设直线AB方程为y=k（x-a），
则CD方程为y＝−

1

k

(x−a)，
分别代入y²=4x得：k²x²-（2ak²+4a）x+k²a²=0及

1

k2

x2−(2a

1

k2

+4a)x+

a2

k2

＝0，
∵|AB|＝xA+xB+p＝2a+

2a

k2

+2a，|CD|=x_C+x_D+p=2a+4ak²+2a，
∴|AB|+|CD|＝8a+

4a

k2

+4ak2≥16a，当且仅当k²=1时取等号，
所以，|AB|+|CD|的最小值为16a．