河宽L=300m,河水流速u=1m/s,船在静水中的速度u=3m/s,欲按下列要求过河时,船的航向应与河岸成多大角度?过河时间为多少?

题目

河宽L=300m,河水流速u=1m/s,船在静水中的速度u=3m/s,欲按下列要求过河时,船的航向应与河岸成多大角度?过河时间为多少?
1 以最短时间过河
2 以最短位移过河
3 到达正对岸上游100m处

答案

1
以最短时间过河,只要保证横过河流的速度分量最大,即船在静水中的速度.船的航向应与河岸垂直
则t=L/u=100s;
2
以最短位移过河,则船的实际运动方向与河岸垂直;船的航向应与河岸成的角度与船在静水中的速度和河水流速的反向所成角度相同.
横过河流的速度分量v=√(3^2-1^2)=2√2 m/s
∴t=L/v=75√2 s
3
船的实际运动方向与河岸成45度角,则-河水流速在该方向的投影为v=1×(√2/2)=√2/2m
根据余弦定理,航向与该方向的角度为arccos[((√2/2)^2+3^2-1^2)/(2×3×(√2/2))]=17√2/2
时间t=√2L/v=3600/17 m