求代数式x2+y2+2x-6y+21的最小值,并求出此时的x,y的值

题目

求代数式x2+y2+2x-6y+21的最小值,并求出此时的x,y的值

答案

原式＝X²+Y²+2X－6Y+1+9+11
＝X²+2X+1+Y²－6Y+9+11
＝（X²+2X+1）+（Y²－6Y+9）+11
＝（X+1）² +（Y－3）² +11
∵（X+1）²≥0 恒定,（Y－3）² ≥0 恒定,
∴ 当（X+1）²＝0,（Y－3）² ＝0 时,原式有最小值,
此时,原式＝0+0+11＝11
∴X＝﹣1 ,Y＝3
∴代数式X²+Y²+2X－6Y+21的最小值为11,此时X为﹣1 ,Y为3