设x1与x2分别是实数方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.

题目

设x1与x2分别是实数方程ax^2+bx+c=0和-ax^2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.
求证：方程（a/2）x^2+bx+c有根介于x1和x2之间.

答案

a≠0,（当a=0时,x1=x2,不符合题意）,b,c不同时等于0（当b,c都等于0时,x1=x2=0,不符合题意）
当b=0,c≠0时,x1^2=-c/a,x2^2=c/a 肯定有一个无实数解
(1)当c=0,b≠0,x1=-b/a,x2=b/a,且方程ax2/2+bx+c=0
有两根,分别为0和-2b/a.符合题意,有一根落在x1和x2之间
(2)当b,c都不等于0时
ax1^2+bx1+c=0,-ax2^2+bx2+c=0
因为方程有根,则b^2≥4ac且b^2≥-4ac
x1^2+(bx1/a)+c/a=0,x2^2-(bx2/a)-c/a=0
令b/a=d≠0,c/a=e≠0,
x1^2+dx1+e=0,x2^2-dx2-e=0
dx1=-x1^2-e,dx2=x2^2-e
很明显b^2>2ac 即方程ax^2/2+bx+c=0
x^2+2dx+2e=0
有两个不同的根,设分别为x3,x4.
令f(x)=x^2+2dx+2e
若x3,x4只有一个落在x1和x2之间,
即要证f(x1)*f(x2)