椭圆的焦点为F1、F2,椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°则椭圆的离心率e的取值范围是( ) A.[12,1) B.[33,1) C.[32,1) D.[0,32)
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椭圆的焦点为F1、F2,椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°则椭圆的离心率e的取值范围是( ) A.[12,1) B.[33,1) C.[32,1) D.[0,32)
题目
椭圆的焦点为F
1
、F
2
,椭圆上存在点P,使∠F
1
PF
2
=120°则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.
[
1
2
,1)
答案
设,P(x
1
,y
1
),F
1
(-c,0),F
2
(c,0),c>0,
则|PF
1
|=a+ex
1
,|PF
2
|=a-ex
1
.
在△PF
1
F
2
中,由余弦定理得
cos120°=−
1
2
=
(a+e
x
1
)
2
+
(a−e
x
1
)
2
−4
c
2
2(a+e
x
1
)(a−e
x
1
)
,
解得
x
1
2
=
4
c
2
−3
a
2
e
2
.
∵x
1
2
∈(0,a
2
],
∴
0≤
4
c
2
−3
a
2
e
2
<
a
2
,
即4c
2
-3a
2
≥0.且e
2
<1
∴
e=
c
a
≥
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