求解高等数学题目；证明不等式X/（1+X）＜Ln（1+X）＜X（X＞0）

题目

求解高等数学题目；证明不等式X/（1+X）＜Ln（1+X）＜X（X＞0）

答案

证明：
构造函数f(x)=ln(1+x)-x
则 f '(x) = 1/(1+x) - 1 < 0 (∵x>0)
所以 f(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 f(x) < f(0) = 0 即 ln(1+x) < x
构造函数g(x) = x/(1+x) - ln(1+x)
则 g ' (x) = 1/(1+x)^2 - 1/(1+x) = - x /(1+x)^2 < 0
所以 g(x)在(0,+∞)上是减函数,于是 g(x) < g(0) = 0 即 x/(1+x) < ln(1+x)
综上所述,结论成立