已知数列{an}满足3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn-n-6|＜1125的最小整数n是（　　） A.5 B.6 C.7 D.8

题目

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜

1

125

答案

对3a_n+1+a_n=4 变形得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1）
即：

an+1−1

an−1

＝−

1

3

故可以分析得到数列b_n=a_n-1为首项为8公比为−

1

3

的等比数列．
所以b_n=a_n-1=8×(−

1

3

)n−1
a_n=8×(−

1

3

)n−1+1=b_n+1
所以Sn＝Sbn+n=

8[1−(− 1 3 )n]

1−(− 1 3 )

+n=6−6×(−

1

3

)n+n
|S_n-n-6|=|−6×(−

1

3

)n|＜

1

125

解得最小的正整数n=7
故答案为C．