已知函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]的区间[1,2]上恒为正值,求实数a的取值范围.

已知函数f(x)=loga[(1/a-2)x+1]的区间[1,2]上恒为正值,求实数a的取值范围.

题目
已知函数f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]的区间[1,2]上恒为正值,求实数a的取值范围.
答案
①当a>1时,要使f(x)恒为正,只需真数(
1
a
−2)x+1
当x∈[1,2]时恒大于1,
令y=(
1
a
−2)x+1
,该函数在[1,2]上是单调函数,因此只需
(
1
a
−2)×1+1>1
(
1
a
−2)×2+1>1
,无解;
②当0<a<1时,要使f(x)恒为正,只需真数y=(
1
a
−2)x+1
当x∈[1,2]时,在区间(0,1)内取值,
而y=(
1
a
−2)x+1
在[1,2]上是单调函数,所以只需
0<(
1
a
−2)×1+1<1
0<(
1
a
−2)×2+1<1
,解得
1
2
<a<
2
3

综上,a的范围是
1
2
<a<
2
3
应该分a>1和0<a<1两种情况讨论,确定真数的范围,使得该对数恒为正.

函数恒成立问题.

本题一方面考查了对数函数的性质,要结合对数函数的图象来解决问题;另一方面要注意分类讨论.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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