设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:至少存在一点a属于(0,1),使f(a)
题目
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,证明:至少存在一点a属于(0,1),使f(a)
导数等于-f(a)/a.
答案
令g(x)=xf(x)
则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且g(1)=0=g(0)
由罗尔中值定理 知有一点a属于(0,1)使得 g`(a)=0
0=g`(a)=f(a)+af`(a)
即f`(a)=-f(a)/a.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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