如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：△CAF为等腰三角形．

题目

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．

（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．

答案

（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC．
∴∠DCA=∠ACB=

1

2

∠DCB．
∵DC=AB，
∴∠DCB=∠ABC．
∴∠ACB=

1

2

∠ABC．
在△ACB中，∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°．
∴∠ACB+∠ABC=90°．
∴

1

2

∠ABC+∠ABC=90°．
∴∠ABC=60°．（3分）
（2）证明：连接DB，
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴AC=DB．
在四边形DBFA中，DA∥BF，DA=DC=BF，
∴四边形DBFA是平行四边形．
∴DB=AF，
∴AC=AF．
即△ACF为等腰三角形．（6分）