求Lim n→∞ xn,设x1=根号2,x2=根号(2+根号2),… ,xn=√(2+√(2+…+√2)),(n重根号)

题目

求Lim n→∞ xn,设x1=根号2,x2=根号(2+根号2),… ,xn=√(2+√(2+…+√2)),(n重根号)

答案

先证明{xn}极限存在,然后再求lim n→∞ xn
首先证明{xn}单调增加：x2==√(2+√2）>√2=x1,若xn>xn-1,则有
xn=√（2+xn）>√(2+xn-1)=xn
有归纳法可知{xn}单调增加.
其次证明{xn}是有界变量：x1=√2