已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128,若bn=log2an,数列{bn}前n项的和为Sn.(Ⅰ)求数列{bn}的前n项和Sn;(Ⅱ)求不等式Sn<2bn的解集.
题目
已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128,若bn=log2an,数列{bn}前n项的和为Sn.
(Ⅰ)求数列{bn}的前n项和Sn;
(Ⅱ)求不等式Sn<2bn的解集.
答案
(I)在等比数列{a
n}中,由a
5=a
2q
3,又a
2=2,a
5=128,q
3=64,
∴q=4,∴a
n=a
2q
n-2=2•4
n-2=2
2n-3,
∴b
n=log
2a
n=log
22
2n-3=2n-3.S
n=b
1+b
2+b
3+…+b
n=(2•1-3)+(2•2-3)+(2•3-3)+…+(2•n-3)
=2(1+2+3+…+n)-3n=n
2-2n
(II)由S
n<2b
n,得n
2-2n<2(2n-3),即n
2-6n+6<0,
∴
3-<n<3+又n∈N
*,
∴n=2,3,4
故原不等式的解集是{2,3,4}
(I)设数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=128求得a1和q,再根据等比数列{an}的通项公式,进而可知数列{bn}是等差数列.再利用等差数列的求和公式求得答案.
(II)由Sn<2bn,得n2-2n<2(2n-3),即n2-6n+6<0,解不等式即可
数列与不等式的综合;等差数列的前n项和.
本题主要考查了等比数列的通项公式及不等式的解法.属基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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