已知函数f(x)=sinkx(sinx)^k+coskx(cosx)^k-(cos2x)^k

题目

已知函数f(x)=sinkx(sinx)^k+coskx(cosx)^k-(cos2x)^k
问:是否存在非零自然数k,使得函数f(x)为一常函数,若存在,求出k的值,并加以证明,若不存在,请说明理由

答案

存在,f(x)连续可导
故要使f(x)为常数,则f'(x)=0恒成立
而f'(x)=k(sinx)^(k-1)sin(k-1)x-k(cosx)^(k-1)sin(k-1)x+2k(cos2x)^(k-1)sin2x
=k(sinx)^(k-1)sin(k-1)x-k(cosx)^(k-1)sin(k-1)x+k(cos2x)^(k-2)sin4x
可以检验当k=3时,f'(x)=0,此时必有f(x)为常数.