设f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,对于等式f(1)+f(2)+...f(n-1)=g(n)[f(n-1)}猜想g(n)的表达式并用数学归纳法证明

题目

设f(n)=1+1/2+1/3+...1/n,对于等式f(1)+f(2)+...f(n-1)=g(n)[f(n-1)}猜想g(n)的表达式并用数学归纳法证明
这个我猜想出g(n)=n了然后证明了n=2,假设n=k成立怎么证n=k+1成立急求

答案

猜想：g(n) = n
即 f(1)+f(2)+...f(n-1) = n [ f(n) -1 ]
n=2时,左边=f(1) =1 ,右边=2* [ f(2) -1] = 1 ,左边=右边
假设n=k时,f(1)+f(2)+……+f(k-1) = k [ f(k) -1]
当n=k+1时,左边=f(1)+f(2)+……+f(k-1) +f(k)
= k [ f(k) -1] + f(k)
= (k+1)f(k) - k
= (k+1) [ f(k+1) - 1/(k+1) ] - k
= (k+1) f(k+1) - 1 - k
= (k+1) [ f(k+1) - 1 ]
即 n = k+1时 成立
综上,f(1)+f(2)+...f(n-1) = n [ f(n) -1 ]
故 g(n)=n