已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于两点A、B,问是否存在实数a,使得A、B两点关于直线y=3x对称?并加以证明

题目

已知直线y=ax+1与双曲线3x^2-y^2=1相交于两点A、B,问是否存在实数a,使得A、B两点关于直线y=3x对称?并加以证明

答案

解设A（x1,y1),B(x2,y2)
联立方程组
y=ax+1与3x^2-y^2=1
消元得（3-a^2)x^2-2ax-2=0
所以x1+x2=-b/a=2a/(3-a^2)
所以y1+y2=(ax1+1)+(ax2+1)=(x1+x2)a+2=2a/(3-a^2)*a+2
因为A、B两点关于直线y=3x对称
所以（x1+x2）/2=a/(3-a^2)
（y1+y2）/2=a/(3-a^2)+1
所以上面两个点会过y=3x
代入,得：a/(3-a^2)+1=3*a/(3-a^2)
解得:a=1