已知函数f(x)=x-ax2-lnx(a>0). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,求a的值以及切线方程; (2)若f(x)是单调函数,求a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x-ax2-lnx(a>0).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,求a的值以及切线方程;
(2)若f(x)是单调函数,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=1-2ax-
.…(2分)
由题设,f′(1)=-2a=-2,a=1,
此时f(1)=0,切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.…(5分)
(2)f′(x)=-
,
令△=1-8a.
当a≥
时,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.…(10分)
当0<a<
时,△>0,方程2ax
2-x+1=0有两个不相等的正根x
1,x
2,
不妨设x
1<x
2,
则当x∈(0,x
1)∪(x
2,+∞)时,f′(x)<0,当x∈(x
1,x
2)时,f′(x)>0,
这时f(x)不是单调函数.
综上,a的取值范围是[
,+∞).…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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