已知函数y=f(x)=Inx/x. （I）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程； （II）求y=f(x)的最大值；

题目

已知函数y=f(x)=Inx/x. （I）求函数y=f(x)的图像在x=1/e处的切线方程； （II）求y=f(x)的最大值；
（III）设实数A＞0,求函数F(X)=af(x)在[a,2a]上的最小值

答案

(I)
∵f(x)=(lnx)/x
∴f’(x)=[(lnx)’x-(lnx)(x)’]/x^2=[(1/x)x-(lnx)×1]/x^2=(1-lnx)/x^2
∴f’(1/e)=[1-ln(1/e)]/(1/e)^2=[1-(-1)]/(1/e^2)=2e^2
∵f(1/e)=[ln(1/e)]/(1/e)=-1×e=-e
∴切线方程为y+e=2e^2(x-1/e),即y=2e^2x-3e.
(II)定义域为x∈(0,+∞).
令f’(x)=(1-lnx)/x^2=0,则1-lnx=0,lnx=1,x=e.
∵当0e时,lnx>lne=1,1-lnx0时,F’(x)>0；当f’(x)