老师在黑板上写出四个等式：1²＋（1×2）²＋2²＝（1×2＋1）²,2²＋（2×3）²＋3²＝（2×3＋1）²,3&#

题目

老师在黑板上写出四个等式：1²＋（1×2）²＋2²＝（1×2＋1）²,2²＋（2×3）²＋3²＝（2×3＋1）²,3²＋（3×4）²＋4²＝（3×4＋1）²,4²＋（4×5）²＋5²＝（4×5＋1）²...
（1）请你对此提规律写出第2012个等式；
（2）请你类似的写第n个等式；
（3）证明第n个等式的正确性.

答案

（1）2012²+（2012X2013)²+2013²=（2012X2013+1)²
（2）n²+[n(n+1)]²+(n+1)²=[n(n+1)+1]²
（3）n²+[n(n+1)]²+(n+1)²
=n²+[n(n+1)]²+(n+1)²
=n²+n²(n+1)²+(n+1)²
=n²+(n²+1)(n+1)²
=n²+(n²+1)(n²+2n+1)
=n²+(n²+1)(n²+1+2n)
=n²+(n²+1)²+2n(n²+1)
=(n²+1)²+2n(n²+1)+n²
=(n²+1+n)²
=(n²+n+1)²
=[n(n+1)+1]²