如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,AC⊥AB,延长CB至F,使BF=CD. (1)求∠ABC的度数; (2)求证:△CAF为等腰三角形.

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,AC⊥AB,延长CB至F,使BF=CD. (1)求∠ABC的度数; (2)求证:△CAF为等腰三角形.

题目
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,AC⊥AB,延长CB至F,使BF=CD.

(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:△CAF为等腰三角形.
答案
(1)∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB.
∵AD=DC,
∴∠DCA=∠DAC.
∴∠DCA=∠ACB=
1
2
∠DCB.
∵DC=AB,
∴∠DCB=∠ABC.
∴∠ACB=
1
2
∠ABC.
在△ACB中,∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°.
∴∠ACB+∠ABC=90°.
1
2
∠ABC+∠ABC=90°.
∴∠ABC=60°.(3分)
(2)证明:连接DB,
∵在梯形ABCD中,AB=DC,
∴AC=DB.
在四边形DBFA中,DA∥BF,DA=DC=BF,
∴四边形DBFA是平行四边形.
∴DB=AF,
∴AC=AF.
即△ACF为等腰三角形.(6分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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