将纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子与分母之和是158,则0.abc是（ ）

题目

将纯循环小数0.abc写成最简分数时,分子与分母之和是158,则0.abc是（ ）

答案

纯循环小数0.abc写成分数时(推导见下) 为abc/999
写成最简分数时,分子与分母之和是158,999 = 3*3*3*37; 可能的分母只能大于79(158/2),且小于158,还要是999的因子,符合条件的只有111,分子是158-111 = 47,最简分数是47/111 = 423/999
循环小数是0.423.
0.abcabcabc...= abc*10^(-3) + abc*10^(-6) + abc*10(-9) + .(公比为0.001的等比数列)
= abc*10^(-3) (1-0.001^n)/(1-0.001)
= abc/999 (n->无穷大)