奇函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 在x=-1时有极值-2.(1) 求f(x)的解析式 (2)求f(x)的单调区间

题目

奇函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 在x=-1时有极值-2.(1) 求f(x)的解析式 (2)求f(x)的单调区间
为什么是奇函数 B=D=0啊?就这个有疑问?

答案

由于是奇函数,所以不应该有偶次项出现,所以:
b=d=0.
所以:f(x)=a*x^3+cx.
求导,f(x)'=3a*x^2+c.
由于在x=-1的时候取到极值-2,所以:
f(-1)'=0,f(-1)=-2.
所以:
3a+c=0,
-a-c=-2.
所以:
a=-1,c=3.
所以:
(1)
f(x)=-x^3+3x.
(2)
f(x)'=3ax^2+c=-3x^2+3.
令f(x)'=0,得到x=1或者x=-1,
所以:
函数在(-无穷,-1]上是单调下降的,
函数在(-1,1]上是单调上升的,
函数在(1,+无穷)上是单调下降的.