已知点A(-3,5),B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上求一点P,使|PA|+|PB|最小.
题目
已知点A(-3,5),B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上求一点P,使|PA|+|PB|最小.
答案
由题意知,点A、B在直线l的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点A关于直线l的对称点A′,
然后连接A′B,则直线A′B与l的交点P为所求.
事实上,设点P′是l上异于P的点,则|P′A|+|P′B|=|P′A′|+|P′B|>A′A
′B|=|PA|+|PB|.
设A′(x,y),则
•=−1,且 3•
-4
+4=0,解得 x=3,y=-3,∴A′(3,-3),
∴直线A′B的方程为18x+y-51=0.
由
,解得
,
∴P(
,3).
先作出点A关于直线l的对称点A′,然后连接A′B,则直线A′B与l的交点P为所求.利用线段的垂直平分线的性质
求得A′(3,-3),可得直线A′B的方程,再把直线A′B的方程与直线l的方程联立方程组求得点P的坐标.
与直线关于点、直线对称的直线方程.
本题主要考查线段的垂直平分线的性质应用,求两直线的交点坐标,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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