定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3. (Ⅰ)当x<0时,求f(x)的解析式; (Ⅱ)求y=f(x)的最大值,并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明).
题目
定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3.
(Ⅰ)当x<0时,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求y=f(x)的最大值,并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明).
答案
(Ⅰ)设x<0,则-x>0,
f(-x)=-4(-x)
2+8(-x)-3=-4x
2-8x-3,(2分)
∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴x<0时,f(x)=-4x
2-8x-3.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f(x)= | −4(x−1)2+1(x≥0) | −4(x+1)2+1(x<0) |
| |
,(6分)
∴y=f(x)开口向下,所以y=f(x)有最大值f(1)=f(-1)=1.(8分)
函数y=f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1];
单调递减区间是[-1,0]和[1,+∞).(10分)
(Ⅰ)x<0时,-x>0,代入已知x≥0时,f(x)=-4x2+8x-3,可得f(-x)=-4x2-8x-3,根据偶函数的性质可求得f(x)=-4x2-8x-3;
(Ⅱ)根据二次函数的单调性分别求解两段函数的单调区间即可.
函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.
本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式,函数单调性的判断与证明,函数的单调区间的求解,(Ⅱ)中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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