若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是回旋函数,且阶数为a. (Ⅰ)试判断函数f(x)=x2是否是一个回旋函数;
题目
若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数x成立,则称f(x)是回旋函数,且阶数为a.
(Ⅰ)试判断函数f(x)=x2是否是一个回旋函数;
(Ⅱ)已知f(x)=sinωx是回旋函数,求实数ω的值;
(Ⅲ)若对任意一个阶数为a的回旋函数f(x),方程f(x)=0均有实数根,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)若(x+a)
2+ax
2=0对任意实数都成立,令x=0,则必须有a=0
令x=1,则有a
2+3a+1=0,显然a=0不是这个方程的解故假设不成立,该函数不是回旋函数.
(Ⅱ)由于f(x)=sinwx是回旋函数,故有:sinw(x+a)+asinwx=0对任意实数x成立
令x=0,可得sinwa=0,令x=
,可得coswa=-a,故a=±1,w=kπ(k为整数)
(Ⅲ)如果a=0,显然f(x)=0,则显然有实根.
下面考虑a≠0的情况.
若存在实根x
0,则f(x
0+a)+af(x
0)=0,即f(x
0+a)=0说明实根如果存在,那么加a也是实根.因此在区间(0,a)上必有一个实根.则:f(0)f(a)<0
由于f(0+a)+af(0)=0,则f(0)=
,只要a>0,即可保证f(0)和f(a)异号.
综上a≥0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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