如图,△ABC中,D为AC边上的一点,DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F

题目

如图,△ABC中,D为AC边上的一点,DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F
求证：（1）若CD=CF,则△ABC为等腰三角形；（2）若CD=CF,且∠F=30°,则△ABC为等边三角形.

答案

（1）由CD=CF,得∠CDF=∠CFD,
由DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F
得∠ADE=∠CDF,所以∠ADE=∠CFD,
∠AED+∠ADE=90°,∠CFD=∠BFD,∠CFD+∠EBF=90°,而∠ADE=∠CFD
所以∠EAD=∠EBF,即∠BAC=∠ABC,所以△ABC为等腰三角形
（2）若CD=CF,且∠F=30°
由DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F
得∠CDF=∠ADE=∠F=30°,
所以∠EAD=∠EBF=90°-30°=60°,即∠BAC=∠ABC=60°
而∠BCA=180°-（∠EAD+∠EBF）=180°-(60°+60°)= 60°
所以△ABC为等边三角形.