设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n

题目

设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n

答案

最简单的证明方法是运用齐次方程组的解空间的知识:
记 B=(b1,b2,……,bs) ,由 AB=0 ,知 b1,b2,……,bs 是 Ax=0 的解
记 r(B)=r ,说明 b1,b2,……,bs 中有 r 个向量线性无关
即 Ax=0 的解空间S中至少有 r 个向量,即 dimS≥r
由解空间维度的关系:dimS=n-r(A)≥r
即 n ≥ r(A)+r = r(A)+r(B)