设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E

设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E

题目
设A是m*n矩阵 证明R(A)=m的充要条件是存在n*m矩阵B,使AB=E
答案
充分性:
因为,R(A)=m
存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】
设D=【Em,0】^T,
则PAQD=Em,即AQDP=Em,
令B=QDP 即可得:AB=Em.
充分性得证.
必要性
已知:存在n*m矩阵B,使AB=E
不妨假设:对于A,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=C=
【Er,0】
【0,0】
即R(A)<m
A=P^(-1)CQ^(-1)
AB=P^(-1)CQ^(-1)B=E
CQ^(-1)BP^(-1)=E
因为C的后m-r行全为零,矛盾,所以R(A)=m.
必要性得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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