若实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=9,则代数式（a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2的最大值是?

题目

若实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=9,则代数式（a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2的最大值是?
这道题考住我好久了为什么答案不是18而是27?老师也没讲清,答对了赏金15外加无限膜拜.

答案

（a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=18-2(ab+ac+bc)
即求2(ab+ac+bc)最小值
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=9+2(ab+bc+ac)>=0
因为(a+b+c)^2>=0 最小值为0 所以2(ab+bc+ac)最小值为-9
代入可得
18-2(ab+ac+bc)18+9=27