设常数a>0,求数列极限I=limn^2(a^(1/n)-a^(1/n+1)) n趋近于正无穷

题目

设常数a>0,求数列极限I=limn^2(a^(1/n)-a^(1/n+1)) n趋近于正无穷
设常数a>0,求数列极限I=limn^2(a^(1/n)-a^(1/n+1)) n趋近于正无穷
若g(x)=cotx+(a-1)/2x-x/2a,其中常数a>0,则g(x)在（0,∏）内拥有的零点情况

答案

可以利用 Lagrange中值定理,f(x) = a^x,f '(x) = a^x lna,区间 [1/(n+1),1/n]
a^(1/n) - a^(1/n+1)) = f '(ξ) [ 1/n - 1/(n+1)] ,ξ ∈ [1/(n+1),1/n]
= a^ξ lna * 1/[n(n+1)]
原式 = lim(n->∞) a^ξ lna * n²/ [n(n+1)]
= lim(n->∞) a^ξ lna = lna (∵ ξ ->0 )