设f1 f2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a大于b大于)的左右焦点,过F1倾斜角为45度的直线l与该椭圆相交于P,Q两点,且PQ的绝对值=4/3a.(1)求该椭圆的离心率;(2)设点M(0
题目
设f1 f2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a大于b大于)的左右焦点,过F1倾斜角为45度的直线l与该椭圆相交于P,Q两点,且PQ的绝对值=4/3a.(1)求该椭圆的离心率;(2)设点M(0,-1)满足MP的绝对值=MQ的绝对值,求该椭圆的方程.
答案
(1)设直线 l 的方程为 y=x+c,与椭圆交于 P(Xp,Yp)、Q(Xq,Yq),将 l 代入椭圆方程中:
(x²/a²)+[(x+c)²/b²]=1,整理得 (a²+b²)x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0;其两根之差 |Xp-Xq|=△/(a²+b²);
即 |Xp-Xq|=√[(2ca²)²-4(a²+b²)(a²c²-a²b²)] /(a²+b²)=√8ab²/(a²+b²);
按题意 |pq|=4a/3=√2*[√8ab²/(a²+b²)],a²=2b²=2c²;e=c/a=√(1/2)=√2/2;
(2)因 |MP|=|MQ|,即 Xp²+(Yp+1)²=Xq²+(Yq+1)²;
将 y=x+c 代入上式 Xp²+(Xp+c+1)²=Xq²+(Yq+c+1)²,2(Xp-Xq)[(Xp+Xq)+(c+1)]=0;
因为 Xp-Xq≠0,所以 Xp+Xq+c+1=0;又由(1)可推知 Xp+Xq=-2ca²/(a²+b²)=-4c/3;
所以 (-4c/3)+c+1=0,c=3;b²=c²=9,a²=2b²=18;
椭圆方程为 (x²/18)+(y²/9)=1;
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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